經(jīng)典例題1、菱形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題
在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，點(diǎn)P是射線(xiàn)BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是________，CE與AD的位置關(guān)系是________；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD外部時(shí)，(1)中的結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)予以證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由(選擇圖2，圖3中的一種情況予以證明或說(shuō)理)；
（3）如圖④，當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BD的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，連接BE，若AB＝2√3，BE＝2√19，求四邊形ADPE的面積．
【試題分析】此題是四邊形的綜合題,重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、以及圖形的面積等知識(shí)點(diǎn),解題的關(guān)鍵是正確地作出解題所需要的輔助線(xiàn),將菱形的性質(zhì)與三角形全等的條件聯(lián)系起來(lái),此題難度較大,屬于考試壓軸題.
(1)連接 AC ,根據(jù)菱形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明△ BAP ≌ CAE 即可證的結(jié)論;
(2)(1)中的結(jié)論成立,用(1)中的方法證明 △ BAP≌△ CAE 即可;
(3)連接 AC 交 BD 于點(diǎn) O ,由 LBCE =90,根據(jù)勾股定理求出 CE 的長(zhǎng)即得到 BP 的長(zhǎng),再求 AO PO 、 PD 的長(zhǎng)及等邊三角形 APE 的邊長(zhǎng),可求得△ APD 和△ APE 的面積,進(jìn)而求得四邊形 ADPE 的面積.
【參考答案】(1)BP＝CE CE⊥AD ；（2）成立；（3）8√3.
經(jīng)典例題2、正方形中的三角形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題
（1）如圖1，正方形ABCD中以AB為邊在正方形內(nèi)構(gòu)造等邊△ABE，等邊△ABE邊AE交正方形對(duì)角線(xiàn)BD于F點(diǎn)，求證：BF/FD=√3．
（2）將等腰Rt△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置連接DE，M點(diǎn)為DE的中點(diǎn)，連接AM、MF，求MA與MF的關(guān)系；
（3）如圖3，將△BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，若EF＝4，AB＝1，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M在這個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為 ．
【試題分析】（1）延長(zhǎng)AE，交CD于點(diǎn)G，由“8字”型相似可得BF：FD=DG：AB=tan60°=√3.（2）MA⊥MF，且MA=MF；
經(jīng)典例題3、正方形中的線(xiàn)段與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題
將正方形ABCD的邊CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90）至CP，連接PB，PD．
（1）如圖1，當(dāng)α＝40°時(shí)，直接寫(xiě)出∠BPD的大小；
（2）如圖2，過(guò)B作BE⊥PD交PD延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接AE．
①求∠BPD的大小；
②探究AE，PD之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
③當(dāng)點(diǎn)D為PE中點(diǎn)時(shí)，PB＝6，直接寫(xiě)出四邊形ABPE的面積．
參考答案見(jiàn)下圖
例題4、正方形與旋轉(zhuǎn)問(wèn)題
如圖1，四邊形ABCD為正方形，將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至△A1CD1的位置，旋轉(zhuǎn)角為α．連接AA1，E為AA1的中點(diǎn)．
（1）當(dāng)α＝45°時(shí)，如圖2，此時(shí)∠AA1C＝ ；
（2）在（1）的條件下，再將△EAB繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180°至△EA1M的位置．請(qǐng)你在圖2中完成作圖，并證明：EC＝EM；
（3）將△ACD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至如圖3所示的位置，試判斷△EBD1的形狀并證明.
【參考答案】（1）67.5°；（2）略；（3）等腰直角三角形。